Niveau maths sup

Loi de Biot et Savart

Posté par
Z3pro974 10-11-11 à 13:56

Bonjour à toutes et à tous,
Je révise en tant qu'autodidacte (ou presque parce que les cours du C**D c'est pas le top) et je travaille en ce moment sur le champ magnétostatique.
J'ai trouvé un petit site pas mal, où le cours est bien détaillé, dont voici le lien:
http://melusine.eu.org/syracuse/immae/mpsi/physique-chimie/magnetostatique/02.pdf
J'ai cependant un petit problème de compréhension: sur la page 2, à partir de "L'élément infinitésimal crée en M un champ dB" je ne comprends pas le calcul qui est fait sur le produit scalaire.
Je vois que sur la partie de droite on retrouve les coordonnées de $\vec{PM} (-R , 0 , z)$ mais comment obtient les coordonnées de l'élément $\vec{dl}$ (0 , R.d , 0) ?
Ensuite vient le résultat vectoriel (z.R.d , 0 , R².d) que je n'assimile pas. Je partais du principe que $\vec{dl}$ $\vec{PM}$ donc leur produit scalaire est nul mais celà ne colle pas...
Puis vient l'intégration entre 0 et 2 avec (R².d) / (z²+R²)^3/2
Il y a donc ce numérateur que je ne comprends pas aussi...
Voilà, j'ai essayé d'être le plus clair possible. Le reste de la démonstration ne me pose pas de souci (à partir du résultat de $\vec{B(M)}$ encadré en rouge) mais il y a vraiment cette partie que j'ai admise.
Du coup, quand on me demande de la redémontrer dans les exercices, je ne sais pas expliquer ce passage.
Voilou, j'espère que quelqu'un m'accordera un peu de son temps pour que je puisse continuer dans l'univers fantastique des flux magnétiques!!
Merci par avance

Posté par re : Loi de Biot et Savart 10-11-11 à 21:08

Bonsoir,

La loi de Biot et Savart :

$\Large\boxed{ d\overrightarrow{B(M)}=\frac{\mu_0}{4\pi}\frac{I d\vec{l}\wedge \vec{u_{PM}}}{PM^3}}$

en fait ce n'est pas un produit scalaire, c'est un produit vectoriel.

Exemple avec deux vexteurs de $\Large\mathbb{R}^3$ :

$\vec{X}\left( \begin{array}{c} \\ x_1 \\ \\ x_2 \\ \\ x_3 \\ \end{array} \right)\in\mathbb{R}^3\ \ \ \ \ \vec{Y}\left( \begin{array}{c} \\ y_1 \\ \\ y_2 \\ \\ y_3 \\ \end{array} \right)\in\mathbb{R}^3$

Produit SCALAIRE :

$\Large\boxed{\vec{X}.\vec{Y}=x_1y_1+x_2y_2+x_3y_3\in\mathbb{R}}$

Le produit scalaire de deux vecteurs est un scalaire.

Produit VECTORIEL :

$\boxed{\vec{X}\wedge\vec{Y}=\left( \begin{array}{c} \\ x_1 \\ \\ x_2 \\ \\ x_3 \\ \end{array} \right)\wedge\left( \begin{array}{c} \\ y_1 \\ \\ y_2 \\ \\ y_3 \\ \end{array} \right)=\left( \begin{array}{c} \\ x_2y_3-x_3y_2\\ \\ x_3y_1-x_1y_3\\ \\ x_1y_2-x_2y_1 \\ \end{array} \right)\in\mathbb{R}^3}$

Le produit vectoriel de deux vecteurs est un vecteur.

On a les propriétés suivantes :

$\Large\vec{X}.\vec{Y}=\|\vec{X}\|.\|\vec{Y}\|.\cos(\vec{X},\vec{Y})$

$\Large\|\vec{X}\wedge\vec{Y}\|=\|\vec{X}\|.\|\vec{Y}\|.|\sin(\vec{X},\vec{Y})|$

Si deux vecteurs sont orthogonaux, leur produit scalaire est nul (0).

Si deux vecteurs sont colinéaires leur produit vectoriel est nul ( $\vec{0}$ ).

Ensuite $d\vec{P}=d\vec{l}=Rd\theta$

et $PM^3=\sqrt{R^2+z^2}^3={(R^2+z^2)}^\frac{3}{2}$

Dites-moi s'il y a encore des endroits obscurs.

Posté par re : Loi de Biot et Savart 10-11-11 à 21:19

Par exemple avec la formule ci-dessus :

$\Large\left( \begin{array}{c} \\ 0 \\ \\ Rd\theta \\ \\ 0 \\ \end{array} \right)\wedge\left( \begin{array}{c} \\ -R \\ \\ 0 \\ \\ z \\ \end{array} \right)=\left( \begin{array}{c} \\ Rd\theta z-0\times0 \\ \\ -R\times0-0\times z \\ \\ 0\times0-(-R\times Rd\theta) \\ \end{array} \right)=\left( \begin{array}{c} \\ Rd\theta z \\ \\ 0 \\ \\ R^2d\theta \\ \end{array} \right)$

Ca doit paraître plus clair comme ça ...

Posté par re : Loi de Biot et Savart 10-11-11 à 22:22

Bonsoir Athrun,
Merci beaucoup pour ces infos, je confondais les produits scalaire et vectoriel, maintenant je maîtrise la loi de Biot et Savart! je me remets maintenant dans le calcul des flux et le théorème d'Ampère, pas facile d'ailleurs! j'apprécie énormément votre coup de pouce et votre disponibilité!
A bientôt sûrement!

Posté par re : Loi de Biot et Savart 10-11-11 à 23:30

Pas de soucis

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