Niveau école ingénieur

Transfert thermique

Posté par
Fr3udBorgia 28-02-14 à 12:31

Bonsoir,

Soucis avec l'exo suivant :

Au cours du durcissement, les différents constituants du béton entrent en réaction chimique. On se propose d'étudier les conséquences thermiques de ce phénomène à l'intérieur d'un mur d'épaisseur 2L=25cm, de conductivité thermique $\lambda=1,25W/m/K$ et de diffusivité a= 1,25.10^-6 m²/s, dans les conditions suivantes :

A l'instant t=0, le mur étant en équilibre thermique avec l'air ambiant de température Te=15 °C, les réactions chimiques commencent à produire une puissance volumique constante et uniforme, P=7.10^3 W/m^3, jusqu'à $t=t_{ch}$ où elles cessent brusquement. Le coefficient d'échange convectif et radiatif entre les faces de ce mur (x=+ ou - L) et l'air ambiant est, à chaque instant, égal à h=20 W/m²/K

Etude du régime stationnaire

1) Déterminer la loi d'évolution de la température T(x) à l'intérieur du mur, calculer T(0) et T(L).

Je pars de l'équation de la chaleur en sachant que d/dt=0 d'où je note la production $P=-\lambda\Delta T$

J'intègre une fois : $dT/dx=\frac{-Px}{\lambda}+B$

Une seconde fois : $T(x)=\frac{-Px^2}{2\lambda}+Bx+C$

Je sais le béton est homogène donc au centre du béton en x=0 la dérivée s'annule car c'est là que la température est maximale d'où

dT/dx (en x=0)=0=B

En revanche pour trouver C les choses se compliquent.

Je sais que comme le béton est homogène la température aux extrémités du mur soit en L et en -L les températures sont les mêmes.
En x=L on a : $h(T(x=L)-Te)=-\lambda \frac{dT}{dx}_{en x=L}$

J'arrive à $C(h+\lambda)=PL+Teh+\frac{PhL^2}{2\lambda}$ soit C=... ce qui me semble être compliqué pour une constante.
Mon expression de départ est-elle bonne ?

Cordialement.

Posté par re : Transfert thermique 28-02-14 à 20:53

bonsoir

tu écris le flux connu en +L: PL = h(T(L) - Te)

d'où T(L) - Te = PL/h
comme T(L) = C - PL²/2

on trouve finalement: C = Te + PL/h + PL²/2

T(x) - Te = PL/h + P/2(L² - x²)

sauf erreur

Posté par re : Transfert thermique 01-03-14 à 17:54

Oui merci, j'ai du me tromper lorsque j'ai isolé C.

En revanche concernant l'étude du régime instationnaire en $t=0$ et $t=t_m$ , il est écrit qu'on introduit le nombre de Fourier Y=at/L²

Et on me demande d'établir le bilan énergétique sous la forme adimensionnelle:

$\frac{\delta\theta}{\delta X^2}-\frac{\delta\theta}{\delta Y}+2=0$

Pour ce cas je reprends l'équation de la chaleur qui est :

$P=\frac{\rho C_p}{L^2} \frac{\delta T}{\delta Y}-\lambda\frac{\delta^2\theta}{\delta x^2}$

A partir du nombre de Fourier j'ai $t=\frac{L^2Y}{a}$ d'où

$0=-P+\frac{a\rho C_p}{L^2}\frac{\delta T}{\delta Y}-\lambda\frac{\delta^2 T}{\delta x^2}$

Or $a=\lambda/\rho C_p$

D'où $0=\frac{-P}{\lambda}+\frac{1}{L^2}\frac{\delta T}{\delta Y}-\frac{\delta^2 T}{\delta x^2}$

Mais ensuite je sais pas comment faire.