Fiche de physique - chimie

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Oscillations libres dans un circuit RLC

I. Étude expérimentale de la décharge d'un condensateur dans une bobine

Soit un circuit contenant une bobine d'inductance L et de résistance interne r, d'un condensateur de capacité C et d'une résistance variable R'.
Le condensateur est initialement chargé.
On visualise la tension u_c aux bornes du condensateur lors de sa décharge à travers la bobine.

1. Montage

Oscillations libres dans un circuit RLC : image 1

2. Résultats

La charge et la décharge du condensateur s'accompagnent d'oscillations électriques ;
les oscillations sont amorties : c'est le régime pseudo-périodique.
L'amortissement est dû à l'effet Joule (dégagement de chaleur) dans la résistance R du circuit (ici, R = R' + r).

Quand R augmente, l'amortissement augmente.

* Tant que R < Rc, on a des oscillations électriques pseudo-périodiques.

Oscillations libres dans un circuit RLC : image 2

* Quand R = Rc = $2\sqrt{\dfrac{L}{C}}$ , on a le régime critique : les oscillations disparaissent.
* Quand R > Rc, on a le régime apériodique : il n'y a pas d'oscillations et l'amortissement est très grand.

Oscillations libres dans un circuit RLC : image 5

La pseudo-période To des oscillations libres du dipôle RLC a pour expression :

$To = 2\pi\sqrt{LC}$

Si on observe la tension aux bornes de R', on observe l'intensité du courant i du circuit.
En effet, d'après la loi d'Ohm, U_R' = R'.i et R' est une constante.

On constate que U_R' est en avance de $\dfrac{To}{4}$ par rapport à $u_{C} = \dfrac{q}{C}$ .
Donc $i=\dfrac{dq}{dt}$ est en avance de $\dfrac{To}{4}$ par rapport à q.

II. Étude analytique d'un circuit oscillant

1. Équation différentielle du circuit RLC

Oscillations libres dans un circuit RLC : image 6

R = résistance totale du circuit.
Le condensateur est initialement chargé.

D'après la loi des mailles : U_L + U_R + U_C= 0 $\Longleftrightarrow L\dfrac{di}{dt}+ Ri + \dfrac{q}{C} = 0$
mais $i = \dfrac{dq}{dt}$
donc $\dfrac{di}{dt} = \dfrac{d^2q}{dt^2}$
Ainsi $L\dfrac{d^2q}{dt^2} + R\dfrac{dq}{dt} + \dfrac{q}{C} = 0$ .

Durant les oscillations libres amorties d'un circuit RLC, la charge q du condensateur obéit à l'équation différentielle $\boxed{L\dfrac{d^2q}{dt^2} + R\dfrac{dq}{dt} + \dfrac{q}{C} = 0}$ .
$R\dfrac{dq}{dt}$ est le terme d'amortissement.

2. Équation différentielle d'un circuit LC

Le circuit LC est un oscillateur idéal de résistance nulle.

Oscillations libres dans un circuit RLC : image 7

Le condensateur est initialement chargé (dans la pratique, on enregistre la tension u_C aux bornes d'un condensateur d'un circuit RLC entretenu).
Avec R = 0, l'équation différentielle est $L\dfrac{d^2 q}{dt^2} + \dfrac{q}{C} = 0$ .

Durant les oscillations libres non amorties d'un circuit LC, la charge q du condensateur obéit à l'équation différentielle $\boxed{\dfrac{d^2q}{dt^2} + \dfrac{1}{LC}q = 0}$ .

3. Solution de l'équation différentielle du 2^ème ordre d'un dipôle LC

L'équation différentielle $\dfrac{d^2q}{dt^2} + \dfrac{1}{LC}q = 0$ admet une solution sinusoïdale de la forme $\boxed{q = Q_{max}.\cos(\omega _{0} t + \phi)}$ .

Vérifions qu'une telle fonction est solution de l'équation différentielle :

* $\blue{q = Q_{max}.\cos(\omega _{0} t + \phi)}$

* $i(t) = \dfrac{dq}{dt} = -\omega _{0} Q_{max}.\sin(\omega _{0} t + \phi)$ (par dérivation d'une fonction composée de la forme f(t)= K.cos(at+b)).

* $\dfrac{di}{dt} = \dfrac{d^2q}{dt^2} = -\omega _{0}^2 \blue{Q_{max}.\cos(\omega _{0} t + \phi)}$
donc $\dfrac{d^2q}{dt^2} = -\omega _{0}^2 q \Longleftrightarrow \dfrac{d^2q}{dt^2} + \omega _{0}^2 q = 0$
mais l'équation différentielle du circuit LC s'écrit aussi $\dfrac{d^2q}{dt^2} + \dfrac{1}{LC} q = 0$ .

Donc, par comparaison, on peut écrire que $\boxed{\omega _{0}^2 = \dfrac{1}{LC}}$

$\omega _{0} = \dfrac{1}{\sqrt{LC}}$ est la pulsation propre de l'oscillateur.

$T_{0} = \dfrac{2 \pi}{\omega _{0}} = 2 \pi \sqrt{LC}$ est la période propre de l'oscillateur.

$f_{0} = \dfrac{1}{T_{0}} = \dfrac{1}{2 \pi \sqrt{LC}}$ est la fréquence propre de l'oscillateur.

$Q_{max}$ est l'amplitude de q.

$\phi$ est la phase à l'origine des dates et $(\omega _{0}t + \phi)$ la phase à la date t.

$Q_{max}$ et $\phi$ ne dépendent que des conditions initiales (à $t_{0}=0$ ).

La tension aux bornes du condensateur est $\boxed{u_{C} = \dfrac{q}{C} = \dfrac{Q_{max}}{C}.\cos(\omega _{0} t + \phi) = u_{max}.\cos(\omega _{0} t + \phi)}$ .

Oscillations libres dans un circuit RLC : image 4

L'intensité du courant est $\boxed{i = \dfrac{dq}{dt} = -\omega _{0} Q_{max}.\sin(\omega _{0} t + \phi) =-I_{max}.\sin(\omega _{0} t + \phi)}$

mais $-\sin(\omega _{0} t + \phi) = \cos(\omega _{0} t + \phi + \dfrac{\pi}{2})$

et $2\pi = \omega _{0} T_{0} \Rightarrow \dfrac{\pi}{2} = \omega _{0} \dfrac{T_{0}}{4}$

donc $i = I_{max}.\cos(\omega _{0}(t+\dfrac{T_{0}}{4}) + \phi)$ : i est en avance de $\dfrac{T_{0}}{4}$ par rapport à q.

III. Énergie d'un circuit oscillant

1. Énergie d'un circuit LC

Dans ce cas idéal, il n'y a pas d'amortissements, donc l'énergie totale du circuit est constante.

L'énergie électrique emmagasinée dans le condensateur est $\boxed{E_{elec} = \dfrac{1}{2} \dfrac{q^2}{C} = \dfrac{1}{2}Cu_{C} ^2}$ .

L'énergie magnétique emmagasinée dans la bobine est $\boxed{E_{magn} = \dfrac{1}{2}Li^2}$ .

L'énergie totale du circuit (énergie électromagnétique) est $\boxed{E_{totale} = E_{elec} + E_{magn} =constante}$ .

Il y a échange d'énergie entre le condensateur et la bobine.
Quand E_elec croît, E_magn décroît et vice-versa.
* E_magn est toujours positive ou nulle, E_magn croît quand |i| croît.
* E_elec est toujours positive ou nulle, E_elec croît quand |q| croît.

Oscillations libres dans un circuit RLC : image 12

$E_{totale} = E_{elec}$ à t₀ = 0 = $\dfrac{1}{2} \dfrac{Q_{max} ^2}{C}$ ;
c'est l'énergie emmagasinée par le condensateur chargé par un générateur annexe de fém E.

2. Énergie d'un circuit RLC

Lors des oscillations d'un circuit RLC, l'amplitude des oscillations diminue.
Le circuit perd de l'énergie dissipée par effet Joule.

Oscillations libres dans un circuit RLC : image 8

IV. Oscillations libres entretenues (voir TP)

Oscillations libres dans un circuit RLC : image 9

L'oscillateur puise à son rythme, à sa fréquence propre $f_{0}$ , de l'énergie dans le dispositif résistance négative pour compenser l'énergie dissipée par effet Joule dans la résistance R du circuit oscillant.

V. Démarrage et entretien des oscillations électriques dans un circuit RLC
(sans G.B.F) avec un "générateur résistance négative" ou bien oscillations électriques auto-entretenues

Oscillations libres dans un circuit RLC : image 10

Quand Ro < r + R' : il n'y a pas d'oscillations.
Quand Ro = r + R' : des oscillations s'amorcent, s'amplifient puis se stabilisent.
On a des oscillations sinusoïdales électriques.

Oscillations libres dans un circuit RLC : image 11

Quand Ro >> r + R', les oscillations électriques ne sont pas sinusoïdales (oscillations en dents de scie).

Publié par gbm le 12-01-2020

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