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[Electricité] Tension aux bornes de la bobine, RLC série

Posté par
infophile 01-12-07 à 21:17

Bonsoir

En cours on a vu la réponse en intensité d'un circuit RLC circuit soumis à une tension sinuosidale, puis on regardait de plus près la tension aux bornes du condensateur.

J'ai essayé de mon côté d'en faire autant pour la tension aux bornes de la bobine, mais les calculs sont moins sympas.


[Electricité] Tension aux bornes de la bobine, RLC série


On pose 3$ \rm \{Z_1=R+\frac{1}{jC\omega}\\Z_2=jL\omega La loi des mailles donne 3$ \rm u-i.Z_1-i.Z_2=0\Longleftrightarrow i=\frac{u}{Z_1+Z_2}

Et puisque 3$ \rm U_L=i.Z_2 alors 3$ \rm U_L=\frac{u.Z_2}{Z_1+Z_2}

Soit en remplaçant par les impédances complexes :

3$ \rm U_L=\frac{u.jL\omega}{R+jL\omega+\frac{1}{jC\omega}}=\frac{u}{1-j\frac{R}{L\omega}-\frac{1}{C\omega}}

Puis on pose 3$ \rm x=\frac{\omega}{\omega_0} et 3$ \rm Q=\frac{1}{RC\omega_0} et l'égalité se réécrit :

3$ \rm U_L=\frac{u}{1-x^2-j\frac{1}{Qx}}

On passe au module :

3$ \rm U_{Lm}=\frac{U_m}{\sqrt{(1-x^2)^2+\frac{1}{Q^2x^2}}}

On a alors 3$ \rm \begin{array}{c}U_{Lm}\longright 0\\x\right 0\end{array} et 3$ \rm \begin{array}{c}U_{Lm}\longright 0\\x\right +\infty\end{array}

Puis je cherche un maximum, donc je cherche les valeurs de 3$ \rm x pour lesquels 3$ \rm \varphi'(x)=0 avec 3$ \rm \varphi(x)=(1-x^2)^2+\frac{1}{Q^2x^2}

On a 3$ \rm \varphi'(x)=-4x(1-x^2)-\frac{2}{Q^2x^3} et Maple me donne des racines horribles

Est-ce que je me suis planté quelque part ou bien on est tout simplement pas cencé aboutir à un résultat simple ?

Merci

Posté par
isaac-newtonre : [Electricité] Tension aux bornes de la bobine, RLC série 01-12-07 à 21:28

Le maximum de ULm est atteint lorsque le dénominateur (cad la racine carrée) est minimum. Cherche plutôt par là. Bon courage.

Posté par
infophilere : [Electricité] Tension aux bornes de la bobine, RLC série 01-12-07 à 21:30

Bonsoir

Ca revient exactement au même, à chercher quand la dérivée de phi s'annule !

Posté par
isaac-newtonre : [Electricité] Tension aux bornes de la bobine, RLC série 01-12-07 à 21:46

Oui et non, pour simplifier on peut supposer que le dénominateur est minimum si (1-x2)=0
(c'est une possibilité)
bravo pour la maitrise du LATEX

Posté par
infophilere : [Electricité] Tension aux bornes de la bobine, RLC série 01-12-07 à 21:52

Oui mais le deuxième terme tend vers 0 lorsque x prend des valeurs très grandes, ce qui est contradictoire avec 1-x² = 0

Qu'est-ce qui est faux dans ma méthode ?

Merci

Posté par
isaac-newtonre : [Electricité] Tension aux bornes de la bobine, RLC série 01-12-07 à 22:09

Attend j'y penche sérieusement.

Posté par
infophilere : [Electricité] Tension aux bornes de la bobine, RLC série 01-12-07 à 22:12

Merci

Posté par
isaac-newtonre : [Electricité] Tension aux bornes de la bobine, RLC série 01-12-07 à 22:17

Tu as écris :
U_L=\frac{u.jL\omega}{R+jL\omega+\frac{1}{jC\omega}}=\frac{u}{1-j\frac{R}{L\omega}-\frac{1}{C\omega}}

Mais \frac{1}{C\omega} (à l'extrémité du dénominateur) doit être multiplié aussi par \frac{1}{jL\omega}

Posté par
isaac-newtonre : [Electricité] Tension aux bornes de la bobine, RLC série 01-12-07 à 22:20

pour avoir :
U_L=\frac{u.jL\omega}{R+jL\omega+\frac{1}{jC\omega}}=\frac{u}{1-j\frac{R}{L\omega}-\frac{1}{LC\omega^2}}

Posté par
infophilere : [Electricité] Tension aux bornes de la bobine, RLC série 01-12-07 à 22:26

Ah oui ! Sur mon brouillon je n'avais pas fait cette erreur tout à l'heure, je vais revoir ça merci !

Posté par
isaac-newtonre : [Electricité] Tension aux bornes de la bobine, RLC série 01-12-07 à 22:29

pour enfin avoir :
U_{Lm}=\frac{U_m}{\sqrt{(1-\frac{1}{x^2})^2+\frac{1}{Q^2x^2}}}

Posté par
infophilere : [Electricité] Tension aux bornes de la bobine, RLC série 01-12-07 à 22:33

Exact j'aboutis au même

Ah ces fautes de calculs

Merci !

Posté par
isaac-newtonre : [Electricité] Tension aux bornes de la bobine, RLC série 01-12-07 à 22:35

je dirais même plutôt :
U_{Lm}=\frac{U_m}{\sqrt{(1-\frac{1}{x^2})^2+\frac{Q^2}{x^2}}}

Posté par
infophilere : [Electricité] Tension aux bornes de la bobine, RLC série 01-12-07 à 22:35

On obtient un maximum pour x = 1 + 1/Q² c'est quand même plus sympa

Posté par
isaac-newtonre : [Electricité] Tension aux bornes de la bobine, RLC série 01-12-07 à 22:35

non ?

Posté par
infophilere : [Electricité] Tension aux bornes de la bobine, RLC série 01-12-07 à 22:36

C'est juste ! Décidément

Posté par
infophilere : [Electricité] Tension aux bornes de la bobine, RLC série 01-12-07 à 22:37

Donc maximum atteint en x = 1+Q²

Posté par
isaac-newtonre : [Electricité] Tension aux bornes de la bobine, RLC série 01-12-07 à 22:40

pourquoi ?
moi je dirais pour x=1 (cad pour =0)

Posté par
isaac-newtonre : [Electricité] Tension aux bornes de la bobine, RLC série 01-12-07 à 22:44

car le dénominateur est minimum si (1-1/x2)=0 comme toute à l'heure

Posté par
infophilere : [Electricité] Tension aux bornes de la bobine, RLC série 01-12-07 à 22:47

Je me suis encore planté dans les calculs il faut que je dorme moi

J'ai regardé quand la dérivée s'annule et c'est en deux points x = -/+ 2/rac(4-2Q²)

C'est comme ça qu'on a fait dans le cours pour le condensateur, on avait ULM = Um/ rac[(1-x²)²+x²/Q²]

Posté par
isaac-newtonre : [Electricité] Tension aux bornes de la bobine, RLC série 01-12-07 à 22:50

Juste une question la dérivée qui s'annule correspond à des extremums, comment tu sais qu'on a à faire à un maximum pour ULm (et non pas un minimum) ?

Posté par
isaac-newtonre : [Electricité] Tension aux bornes de la bobine, RLC série 01-12-07 à 22:52

et aussi comment tu sais que 4-2Q2 est positif (pour pouvoir le mettre dans une racine carrée ?)

Posté par
isaac-newtonre : [Electricité] Tension aux bornes de la bobine, RLC série 01-12-07 à 22:55

Si tu sais pas tu demanderas à ton prof, et tu me posteras la réponse sur ce sujet j'irais voir de tant en tant.

Posté par
infophilere : [Electricité] Tension aux bornes de la bobine, RLC série 01-12-07 à 22:56

On est donc obligé de faire l'hypothèse Q < 2 ? Qu'est-ce qu'il se passe sinon ? Ca s'interprête physiquement ?

Merci

Posté par
isaac-newtonre : [Electricité] Tension aux bornes de la bobine, RLC série 01-12-07 à 23:07

D'après moi, si Q>2 alors x = -/+ 2/rac(4-2Q²) n'est simplement plus solution, donc pas de maximum (ou de minimum). A l'université, j'ai toujours fait (1-1/x²)²=0 pour trouver le maximum... Mais bon, ça fait loin maintenant !
Mais si ton prof à la réponse ça m'intéresse!

(à noté que seule la valeur positive de x est à retenir car >0)

Posté par
isaac-newtonre : [Electricité] Tension aux bornes de la bobine, RLC série 01-12-07 à 23:10

bon @+

Posté par
infophilere : [Electricité] Tension aux bornes de la bobine, RLC série 01-12-07 à 23:15

Non ici ce que tu faisais à l'université ne s'applique pas !

Ca aurait été possible si ça avait été par exemple un truc du genre Im = Um/(R.rac[1+Q²(x-1/x)²]) (la raisonnance en intensité) où on ne retrouve pas de "x" sous la racine, mais ici ça n'est pas le cas.

Ok pour la valeur positive je n'aurais conservé que celle-ci.

Je vais réfléchir à l'interprétation physique, en tout cas je te remercie pour ton aide

Posté par
infophilere : [Electricité] Tension aux bornes de la bobine, RLC série 02-12-07 à 00:15

C'est bien ce qu'on a établi, pour Q < 2 on a bien un maximum et pour Q > 2 il n'y en a plus. Pour x->0 on a une tension nulle, et pour x->+oo on se rapproche de Um comme sur le graphique (Avec Um=20 et Q variant de 1 à 10).

[Electricité] Tension aux bornes de la bobine, RLC série

Voilà A+


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