Calculons les reactions d appauis:
Rb +Rc-pl =0
En regardant de la droite vers la gauche ,
On a:Rb x l -pl x l/2=0
Rb=pl/2
T(x)=p(l-x)/2: l expression de l effort tranchant
Moment :
M(x)=PX.(L-X)/2
Equation de la ligne elastique:
Y"=M(x)/E.I , I = moment d inertie .
Y"=PX.(L-x)/2E.I
Y'=Y'o +( (X2.pL/(2x2))-(X3.P/6))/E.I
=pX2(6L-4X)/24E.I
En B, Yo = 0.

Y=Yo +Y'o.x +(PX3.L/12.E.I)-(X4.P/24.E.I)
Y=Yo + Y'o.x +(P.X3(2L-X)/24.E.I
Equation de la ligne elastique.

La fleche est nulle en B , on a donc
X =L1 d abscisse equivaut a Y'(L1)=0.
Y'o=PX2(6L-4X)/24.E.I
Y=P.L1(3) .(8L-5L1)/24.E.I
L1(3)= L un au cube.
Merci de repondre cordialement.

voici le schema.merci



***Image recadrée***

Bonjour sianmi,

Désolé de l'absence de réponse, je ne vais pas souvent sur le forum ces temps-ci, ou si je passe, c'est uniquement pour faire mon rôle de modérateur, moins de correcteur.

Pour ce qui est de ton exercice, j'ai déjà deux questions concernant ton schéma et le manque d'information de ton énoncé :
* les deux efforts P sont-ils de même valeur ?
* la charge répartie est-elle tout le long de la poutre, ou uniquement de B à C comme le laisse sous-entendre tes calculs ?

Ensuite, je ne comprends pas tes calculs de l'effort tranchant par rapport à y et du moment fléchissant par rapport à z : il faut faire le calcul pour chaque portion de circuit, et non pas qu'une seule partie de la poutre !

Merci pour tes futurs éclaircissements, essaie de reprendre tes calculs pour déterminer les efforts aux appuis, puis l'effort tranchant et le moment fléchissant (de droite à gauche) :
* entre C et D ;
* entre C et le premier effort P ;
* entre B et le premier effort ;
* entre B et le deuxième effort ;
* entre A et le deuxième effort.

Bjr Gbm, la charge est uniformement repartie tout au long de la poutre au metre courant.
Voici comment je decompose:
Equation d equilibre :
Rb+Rc-pl= 0
Moment par rapport a C:
Rb=(pL2/2L)=pL/2
De meme pour Rc=pL/2
.l effort tranchant entre B et C vaut donc :
T=pL/2-px=p(L/2-x)
Moment flechissant entre B et C.
M(x)=px/2(L-x)
Sur l intervalle C et D
Effort
T= -px.
M(x)=px2/2
Pour x =L1
M=pL2/2
De meme sur l axe AB.
Donc essaies de voir ca d abord.
Ensuite comment faire pour trouver le moment tout au long de la poutre afin de trouver l equation de la ligne elastique.merci de repondre .cordialement.

Rb:reaction au point b
Rc:reaction au point c
P:la charge en daN repartie au long de la poutre au metre courant.

Donc le P à deux endroits sur ta poutre correspond en fait à ton effort répartie tout au long ?
Ok, je n'avais pas compris. Attention à tes représentations qui ne sont pas usuelles, il vaut mieux la représenter de la façon suivante (exemple de cas) :



Dans ce cas ton calculs de la résultante statique par rapport à Y n'est pas correct :

La longueur totale est Ltot = L + l1 + L2

donc on a Rb + Rc - p.(L+l1+l2) = 0

ensuite tu fais une équation de moment en B ou C

et tu obtiendras tes équations aux appuis.

Bjr Gbm, j avais essayer avec ta methode.mais ca devient plus complexe dans la resolution.ces genres de poutre console on l a resoud , je pense en la prenant comme une poutre simple sur deux appuis.et apres par intervalle on definit les efforts et les moments.
Merci

Tu n'as pas le choix malheureusement, étant donné que ta charge p est répartie sur toute la longueur selon tes dire, donc Ltot = L + l1 + l2 tu es d'accord ?

Ensuite c'est exactement la méthode que tu m'as présentée,
équation de la résultante statique par rapport à y
équation de moment en B ou en C (au choix)

2 équations, deux inconnues à résoudre, tu trouves donc
Rb = ?
Rc = ?

Ensuite pour déterminer l'effort tranchant Ty et le moment fléchissant Mfz, tu as trois découpages à faire :
x appartient à [AB]
x appartient à [BC]
x appartient à [CD]

Je te conseille de prendre le problème de droite à gauche (car si on fait dans ce sens, le torseur de cohésion revient à dire "+ ce qui est à droite" en termes de moments et d'efforts.

Bjr Gbm.
Voici une partie pour les reactions:
Equation de l equilibre statique:
Rb+Rc-p(L+L1+L2)=0
Res:/y
Moment par rapport a c.
Rb.L-p(L+L1+L2).(L+L1+L2)/2=0
Rb=p(L1+L2+L).(L+L1+L2)/2L
On en deduit Rc?
Rc=P(L1+L+L).((1-(L+L1+L2))
Voici les valeurs des reactions que je trouve.c est un peu trop confu.
Merci de repondre.cordialement.

Je considère donc une charge p répartie sur toute la longueur : Ltot = l + l1 + l2.

Equation Res / y :
Rb + Rc - p.(l+l1+l2) = 0 (1)

Equation de moment en B /z :
+l.Rc - 1/2.P(l+l1+l2) = 0 (2)

(2) => Rc = 1/2.1/l.p(l+l1+l2) = 1/2.p.(l+l1+l2)

Et donc dans (1)

Rb = -1/2.p.(l+l1+l2) + p.(l+l1+l2) = 1/2.p.(l+l1+l2)

C'est logique d'obtenir Rb = Rc du fait de la symétrie du chargement le long de la poutre.

Ensuite pour déterminer l'effort tranchant Ty et le moment fléchissant Mfz, tu as trois découpages à faire :
x appartient à [AB]
x appartient à [BC]
x appartient à [CD]

Bjr Gbm.je te reviens encore.
Pour x compris entre A et B,
Ty=p.x/2;
Mfz=px2/2
Pour x compris entre  B et C , on a
Ty= p.x.(L+L1+L2)/2-p.x(L+L1+L2)
Ty=-p.x(L+L1+L2)
Mfz=p.x2.(L+L1+L2)/2
Pour x compris en C et D
Ty=p.x/2
Mfz=p.x2/2
.voici ce que je trouve.

Je te fais le premier cas :



Soit une abscisse x entre C et D, le torseur de cohésion en G s'écrit (en faisant le bilan des efforts à droite de G) :

Ty = -p.(l1+l2+l-x)

Mfz = -p.(l1+l2+l-x)²/2 (bras de levier x effort dans le sens indirect du repère)

Ensuite, essaie de faire le cas x entre B et C avec la même méthode

Voici le schéma

[img2]

Bjr Gbm.
Je ne comprend pas bien l expression du moment /z.
Aussi en tenant compte de ton raisonnement , entre C et B, on a :
Ty=-p(L1+L2+L-x)+p(L+L1+L2).L/2=-p(L+L1+L2-x)/2
A gauche de Rc , nous avons deux forces :la recation Rb et le poids p.
Par consequent ,
Mfz=-p(L+L1+L2-x)2.1/2+p(L+L1+L2-x).L/2=-p(L+L2+L1-x)(L+2)/2

a droite de b, on a l unique force p.
Ty=-p(L+L1+L2-x)
Mfz=-p(L1+L2+L-x)2)/2.
Encore merci pour tout et merci de verifier.cordialement.

Bonjour sianmi,

Est-ce que tu as vu la définition d'un torseur de cohésion ?

Je n'ai fait que me placer à une abscisse x (point G) sur la poutre et de faire le bilan des efforts et des moments en présence à droite de G.
En effet, selon la définition du torseur de cohésion, soit tu fais le bilan en G des efforts et moments à droite = + ce qui est à droite ;
Soit tu prefères effectuer le bilan sur ce qui est à gauche de G, et dans ce cas ce sera = - ce qui est à gauche.

L'effort tranchant que j'ai trouvé pour le premier cas est tout simplement Ty = charge répartie x longueur considérée, sachant qu'au point G, la longueur à droite est L = l1+l+l2 - x --> jusqu'ici tu es d'accord ?

Ensuite, concernant le moment en G par rapport à z, j'ai utilisé la même méthode que pour trouver les réactions aux appuis, à savoir exprimer la force équivalence à la charge répartie sur le tronçon l1+l+l2 - x : l'effort global est alors placé au MILIEU de ce tronçon. Le moment en ce point est donc tout simplement effort x bras de levier au signe près (ici sens indirect du repère choisi, soit de signe -) --> cette deuxième partie est-elle plus claire ?

Bjr Gbm.c est parfaitement compris le terme de torseur de cohesion.
Dans ce cas , comment tu trouves mes expressions si dessus.
Merci.

Si je reprends mon schéma :



Ty = -p.(l1+l2+l-x) + Rc
Ty = -p.(l1+l2+l-x) + 1/2.p.(l+l1+l2)
Ty = -1/2.p.(l+l1+l2) + p.x

Mfz = -p.(l1+l2+l-x)²/2 + (l1+l-x).Rc
Mfz = -p.(l1+l2+l-x)²/2 + (l1+l-x).1/2.p.(l+l1+l2)

Vérifie l'équation de continuité en x = l1+l

Sauf faute d'inattention.

Bonjour Gbm.
Je pense avoir bien compris le processus.
Pour l equation de la continuite en x=l+l1, je trouve que :
Ty=-pl2/2
Mfz=-(pl2)2/2
Ce qui est correcte pour le troncon C D lorsqu on isole la partie CD de la poutre.

Ensuite sur le troncon AB, en faisant le bilan des forces a gauche de G , on a le poids p et la reaction Rb.
Par consequent:
Ty=-p.(l1+l2+l-x)+Rb
Or Rb=Rc a raison de symetrie.
Ty=-p.(l1+l2+l-x)+px.

Mfz=-p.(l1+l2+l-x)2.1/2+(l2+l-x).p(l1+l2+l-x)/2.
N est ce pas?
Maintenant comment faire pour l equation de la ligne elastique sachant que y"=Mfz/E.I.
Merci. N oublies pas de m envoyer ton adresse postale je vais t expedier une belle montre des chinois(rires...)

Bjr Gbm.
Tu n as pas encore repondu ?
Je t envoie tt a l heure ce que j ai trouve comme resultat.merci et bonne journee.

Pour le dernier tronçon, si tu fais à gauche de G, je ne comprends pas ton raisonnement :



Ty = - (-p.x) = +p.x

Mfz = - (x/2.p.x) = -p.x²/2

En effet, si je regarde à gauche de G, il faut ajouter un signe moins devant le bilan des efforts en G.

De la même façon, tu peux vérifier la continuité de Mfz en x = l1.

Ensuite, pour l'équation du déplacement, tu as l'équation du moment fléchissant sur le long de la poutre, ce ne sont donc plus que des intégrations et des conditions aux limites judicieusement choisies.

Bjr Gbm, est ce que je dois faire l integration sur chaque troncon ou additionne toutes les valeurs des moments sur tout le troncon.
Je te demande aussi de voir doubrere 11 eme edition.tu peux la telecharger gratuitement et voir les pages 106 et 113.I'll y a ce cas qui est traite mais autrement comme je l ai fais au debut.
Je sais bien que ta methode est correcte quand je verifie la continuite sur les abscisses mais ce n est pas comme ca qu ils ont traite.merci de repondre.bonne journee Gbm.

Bjr encore Gbm.
Sur le troncon AB,
Y"=-p.x2/2E.I car Mfz=-p.x2/2
Y'=yo' -x3.p/6.E.I
Y=yo+y'o.x -x4/24.E.I
Yo=x3.p/6.E.I
On l a remplace ensuite dans la valeur de y.
Y=x4.p/8.E.I
L equation de la ligne elastique sur le troncon AB.

Il faut que tu fasses plus d'efforts à expliquer ton raisonnement, et à utiliser le bouton X² mis à disposition sous le cadre où tu écris pour plus de lisibilité des puissances.

Il est préférable de faire ton calcul sur chaque tronçon, tout en se souvenant des équations de continuité de Mfz en x = l1 et x = l1 + l.

Quelles sont les conditions aux limites que tu utilises pour faire disparaître les constantes d'intégrations sur le tronçon [AB] ?

Bjr Gbm.
En fait je ne trouve pas le meme resultat que tu trouves.
La ligne representative du moment flechissant ou de l effort tranchant pour une section d une console AB ou CD est identique a celle d une console isolee, puisqu une charge sur la travee intermediaire ou sur l autre console n a aucun effet sur la console consideree.en revanche , une charge disposee sur une console provoque des effets sur la partie centrale.
A partir de cette explication ,
X [AB]
Ty=-p.x/2
Mfz=-p^{[/sup]/2
Pour x[BC]
Ty=-pl/2+p(l1[sup]}

Seulement pour eliminer les constantes , I'll faut choisir l abscisse y = o.
Et on trouvera la valeur de y'o qu on va remplacer dans y pour trouver y qui correspond a a l equation elastique.
Ensuite on en deduit les fleches pour les abscisses ou Mfz est maximum.

Excuses moi .c est vaec la tablette c est pour cela que j ai du mal a formuler certaines choses.merci

Bon je reprend tt.
X[AB]
Mfz=-px²/2
L equation de continuite en x=l₁, on a :
Mfz=-p.l²/2
Pour x[BC]
Mfz=-pl₂²/2
Pour x[CD]
Mfz=-p.l₂²/2

Mais je doute un peu sur le moment du troncon BC.
Je trouve
Mfz=p.x(l-x)/2.
Parce qu avec tes valeurs j ai du mal a trouver et les fleches sur les troncons.

Chacun a sa méthode, moi j'ai la mienne, tu m'as dit avoir vérifié la continuité du moment fléchissant.

Ensuite pour l'équation du déplacement sur chaque tronçon, il suffit d'utiliser les conditions aux limites que représentent les appuis.

Sur la portion AB, si je regarde à gauche de G, je ne suis pas d'accord avec ton effort tranchant, concernant le moment fléchissant on trouve la même valeur.
Concernant l'équation de continuité, elle n'est valable que pour x = l1, ensuite il faut étudier le tronçon BC.

Et pour le tronçon BC, que ce soit à gauche ou à droite de G, tu auras un appui à prendre en compte dans ton bilan, je ne comprends donc pas ton raisonnement.

Bjr Gbm.en fait je suis eleve et je suis tres curieux de savoir ce que je ne connais pas.la methode que tu as applique je ne la comprends pas bien.voila pkoi j ai besoin d eclaircissement.
Si je comprenais je l avais deja fais.les documents que j ai aussi disent le .contraire de ce que tu as fais.voila pkoi je demande d essayer de voir les references du document que je t ai envoye aujourd hui.peut etres qu ils ont tort.

Ce qui m'embête un peu c'est que je n'ai fait qu'un simple bilan des efforts dans chaque cas .
Je peux essayer de détailler un peu plus :



Soit une abscisse x entre C et D, le torseur de cohésion en G s'écrit (en faisant le bilan des efforts à droite de G) :

Ty = -p.(l1+l2+l-x) --> j'utilise le principe de saint-venant en me ramenant à un effort concentré au milieu de la portion à droite de G.
La longueur de cette portion est .

Mfz = -p.(l1+l2+l-x)²/2

--> bras de levier x effort dans le sens indirect du repère (d'où le signe moins)
--> l'effort est toujours le même pour cette portion, le bras de levier étant



Ty = -p.(l1+l2+l-x) + Rc --> même effort concentré que précédemment + appui Rc si je regarde à droite de G
Ty = -p.(l1+l2+l-x) + 1/2.p.(l+l1+l2) --> en reprenant l'expression de Rc trouvée plus haut
Ty = -1/2.p.(l+l1+l2) + p.x --> en simplifiant, sauf erreur

Mfz = -p.(l1+l2+l-x)²/2 + (l1+l-x).Rc ---> même méthode que précédemment, effort x bras de levier, le signe dépendant du sens du repère
Mfz = -p.(l1+l2+l-x)²/2 + (l1+l-x).1/2.p.(l+l1+l2) --> à simplifier



Ty = - (-p.x) = +p.x --> contrairement aux deux autres tronçon, on regarde ce qui est à gauche de G (plus simple), dans ce cas, la définition du torseur de cohésion nous dit qu'il faut mettre un signe "-"

Mfz = - (x/2.p.x) = -p.x²/2 --> effort x bas de levier.

Autre méthode :
normalement, tu as vu en cours la relation qui lit l'effort tranchant au moment fléchissant :



Tu peux donc uniquement calculer déterminer l'effort tranchant (plus simple) et calculer le moment fléchissant par le calcul si tu préfères.

Bjr Gbm.
Ou je ne suis pas d accord c est sur la travee.les elements de reduction des forces de gauche nous amenent donc a ecrire ceci:
L₁<x<l/2
Ty=-p.x +Rb=-p.x +p.l/2
Mfz=-p.x²/2  + p.l/2(x-l₁ )
A partir de ca, le moment maximum sur la travee est donc
M=-p.l²/8 +(l/2 - l₁).pl/2
Et aussi les moments maximaux obtenus sur appui sont M=-pl₁²/2

Pour le document par sur google tu tape jean claude doubrere.11 eme edition eyrolles.tu veras le document complet en ligne .tu telecharge et tu regarde les pages que j ai cite ci dessus.
Merci

Estvce que pour faire les calculs sans problemes , on peut poser L=l1+l2+l pour eviter les erreurs de calculs

Ecoute, on tourne en rond là ! Tu es en train de m'écrire de nouveau les éléments de ton message du 08-03-16 à 08:53, à savoir que

Rb = pl/2, ce qui est complètement faux si la charge répartie est sur TOUTE la poutre, c'est-à-dire .

Cf. mon message du 15-03-16 à 13:10.

Je t'ai proposé dès le début de poser si c'est plus simple pour dérouler les calculs.

Et concernant le livre dont tu me parles, justement j'ai cherché mais je ne dois pas utiliser le même moteur de recherche que toi --> je n'ai pas forcément les mêmes résultats ; le plus simple est donc de me donner le lien direct vers le livre en question.

Bjr Gbm.
J ai tout repris.tous efforts sont correctes.
Est ce que pour l equation de la ligne elastique , I'll faut procede aussi par troncon.
Qu milieu de la travee et sur les deux consoles.merci

Ouf ! Tant mieux si on converge .

Je te conseille de procéder par tronçons, en utilisant L = l1 + l2 + l quand c'est pertinent pour te simplifier la vie dans les intégrations.

Que peux-tu me dire des appuis en B et C ?
En quoi peuvent-ils servir de conditions aux limites pour l'équation du déplacement selon x ?

On y est presque ! C'est la dernière étape !

Bjr Gbm.soit L=l1+l2+l
X€[CD]
Mfz=-pL² /2 -x.Lp +x² .p/2
Y"(x)=-p.L² /2.E.I -x.Lp/2EI + ² /2EI
Y'(x)=-p.L² .x/2EI -x² .PL/2E.I + x³ .p/6.E.I
Y'(x)=p.x/E.I(L² /2 -x/2) +x³ .P/6E.I +Y'o
Y(x)= yo +y'o.x - x² .PL² /4.EI - x³ /6EI +x⁴ .P/24.EI
Avec yo=pL² .x/2E.I + x².PL/2E.I -x[sup]3[/
sup] /6.E.I

Y(x)=pL.x² E.I(L/4 +x/3) -x⁴ .P/8.EI
Est ce comme ca on procede?
Aussi ce sont des calculs a en point finir.
Et aussi comment procede pour l equation au milieu de BC.merci et bon dimanche.

Bjr Gbm.soit L=l1+l2+l
X€[CD]
Mfz=-pL² /2 -x.Lp +x² .p/2
Y"(x)=-p.L² /2.E.I -x.Lp/2EI + ² /2EI
Y'(x)=-p.L² .x/2EI -x² .PL/2E.I + x³ .p/6.E.I
Y'(x)=p.x/E.I(L² /2 -x/2) +x³ .P/6E.I +Y'o
Y(x)= yo +y'o.x - x² .PL² /4.EI - x³ /6EI +x⁴ .P/24.EI
Avec yo=pL² .x/2E.I + x².PL/2E.I -x[sup]3[/
sup] /6.E.I

La fleche a mi portee est donc pour x=L/2
Y=9pL⁴ /128

Bonjour sianmi,

Encore une fois, tu n'expliques pas ce que tu fais : comment trouves-tu tes constantes d'intégrations Yo et Y'o ?

Bjr Gbm.
J ai applique la formule
dv/dx² =M(x)/E.I=y" la derivee seconde.
Ensuite on integre au fur et a mesure pour trouver les constantes.
Soit Y" =a.x+b
Y'=x² /2 + b.x +c
Y= x³ /6 +b.x² /2 + C.x
N est ce pas? Merci et bon debut de semaine.
Si ce n est pas vrai aussi comment procede t on alors.