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Propagation des ondes 2
Bonjour,
pouvez vous m'aider a résoudre ce problème :
Lorsqu’un séisme a lieu, pour le seul type d’onde considéré, le sismographe enregistre 2 ou 3 signaux (Cf. Fig. 1) : une onde directe, une onde réfléchie et une onde nommée "conique", dont l’existence est discutée ci-dessous. L’onde conique frappe le dioptre avec l’angle limite ic,l, se propage dans le manteau en rasant la surface de séparation puis ressort avec le même angle.
Figure 1 
4) Déterminer la distance minimale ∆m entre l’épicentre et le sismographe, pour que l’onde conique puisse être détectée, en fonction de H, vc et vm ?
5) Le sismographe est placé à une distance ∆ > ∆m. Calculer les temps de parcours des 3 ondes, que l’on notera respectivement, pour les ondes directe, réfléchie et conique, tD, tR et tC en fonction de H, ∆, ∆m, vc et vm.
6) Tracer sur un même graphe tD, tR et tC en fonction de ∆. On précisera le comportement des courbes quand ∆ ≫ H.
7) Déterminer la distance ∆i à partir de laquelle l’onde la plus rapide n’est plus l’onde directe.
8)a. Dans la cas où la station sismique est à une distance ∆ < ∆m, exprimer la profondeur de la croûte terrestre H en fonction de la durée τ qui sépare l’arrivée d’une onde directe et d’une onde réfléchie.
8)b. Dans les Alpes, on a relevé une valeur de τ = 3,91 s, une distance épicentrale de ∆ = 105,5 km. En déduire la profondeur H. La vitesse d’une onde dans la croûte terrestre, au niveau des Alpes, est de l’ordre de 6,25 km.s−1.
Pour déterminer de façon plus précise la constitution du globe terrestre, les géophysiciens provoquent des explosions détectées par un réseau de stations sismiques. Ainsi, il est possible de relever le temps de détection le plus court (le moment des premières vibrations du sismographe) en fonction de ∆. Le graphe obtenu est schématisé figure 2.
Figure 2 
9) Comment interprétez-vous cette courbe par rapport au graphe obtenu en 6).
Quelles ondes sont ainsi détectées?
10) En exploitant la figure 2 et certains résultats des questions précédentes, déterminer numériquement vc, vm, H et ∆m.
Voici le lien pour les figure 1 et 2 *** lien effacé ***
Merci !!
Edit Coll : images placées sur le serveur de l' 
Merci d'en faire autant la prochaine fois ! 
4)
Si on considère une distance minimale de 0 de propagation rasante de l'onde conique alors la distance minimale ES sera donné par la tangente de l'angle d'incidence critique ic,l et la hauteur H
On a delta m = 2*H* tan ic,l
à toi de faire la suite, on attends tes tentatives de réponses
A gauche de ton schéma tu as un triangle rectangle de hauteur H, dont l'hypoténuse par de E et est donnée par le trajet du rayon dit conique dans l'énoncé. L'abscisse x du point d'intersection de ce rayon avec le manteau (qui est donc la base du triangle rectangle) est relié par trigonométrique à tan ic,l = x/H où ic,l est l'angle d'incidence du rayon conique par définition dans l'énoncé car c'est le rayon qui a une réfraction rasante !
La distance que tu veux calculer est en fait 2*x car on demande la distance en surface de la Terre dans le cas où le rayon conique est réfléchie du manteau avec un angle egale à celui de son incidence.
Très bien donc
On a delta m = 2*H* tan ic,l
or ici ic,l = arcsin (vc/vm)
Donc delta m = 2*H* tan (arcsin(vc/vm)
On a le droit d'écrire tan (arcsin(vc/vm) ?
oui 
Ps. tu n'es pas censé savoir ca mais cos(arcsin(x)) = racine(1-x^2)
Sachant que tan x = sinx / cos x et que sin(arcsin x) = x tu pourrais aussi écrire
que tan(arcsin(vc(vm)) = (vc/vm) / racine(1-(vc/vm)^2)
Merci
Pour la 5) Le sismographe est placé à une distance ∆ > ∆m. Calculer les temps de parcours des 3 ondes, que l'on notera respectivement, pour les ondes directe, réfléchie et conique, tD, tR et tC en fonction de H, ∆, vc et vm.
Pour tD j'ai fais tD = ∆ / vc
Mais je ne comprend pas pourquoi H et vm entre en compte puisque l'onde est directe.
Ta réponse est bonne. La question ne précise pas que tu dois exprimer tous les temps en fonction de H, vc,vm,delta et delta m mais que les temps à trouver s'expriment en fonction d'eux (certain d'entre eux).
Ah très bien merci
Pout tR je n'arrive pas a trouver la distance.
Il faut se servir du triangle rectangle de coté H mais les 2 autres cotés sont inconnus.
/2 non ?Oui
Donc tR = distance/vc
Or distance onde incidente = H + (delta/2.
Donc distance totale = 2(H + delta/2) = 2H + delta.
Donc tR= (2H + delta)/ vc ?
Non.
Le trajet de cette onde suit l'hypoténuse du rectangle. Il faut utiliser le théorème de Pythagore pour calculer la distance parcourue en fonction de H et delta
hypothénuse² = H² + (delta/2)²
Donc hypoténuse = racine (H)² + racine ((delta/2)²)
Donc on retombe sur hypoténuse = H + (delta/2) non ?
Non, la racine d'une somme n'est pas la somme des racines !!!!!!!!
L'hypothénuse vaudra 
( H^2+(delta/2)^2 )
Oula oui pardon !!
Donc distance incidente = racine (H^2+(delta/2)^2)
Ainsi distance totale = 2 x racine (H^2+(delta/2)^2)
Donc tR = (2 x racine (H^2+(delta/2)^2)) / vc ?
Merci !!
Pour tC :
Il va y avoir vc et vm qui vont entrés en compte tout les 2 ?
et dois je utiliser la notion de tangente comme pour la question 4) ?
Oui tu as encore une hypoténuse à calculer avec base deltam/2 que tu as trouvé en fonction de vc et vm.
En plus tu as une distance parallèle à l'onde directe de longueur (delta - delta m).
Tu peux écrire en fonction de delta m uniquement. Si tu veux une autre expression simple en fonction vc et vm à la place, utilise mes réponses précédente.
Je ne suis pas sure mais j'ai fais ça :
Pour la distance dans l croute terrestre :
D= 2 √ (h² + (Δm/2)²)
Pour la distance du manteau :
D = (Δ-Δm)
Donc la distance totale = 2 √ (h² + (Δm/2)²) + (Δ-Δm)
Donc tC = (2 √ (h² + (Δm/2)²))/vc + (Δ-Δm)/vm ?
Super 
Par contre je n'ai pas d'idée pour résoudre la 7) Déterminer la distance ∆i à partir de laquelle l'onde la plus rapide n'est plus l'onde directe.
Une piste ?
Dans l'hypothèse delta >> H, tu peux négliger H dans toutes les racines précédente.
tD et tR seront equivalents. tC sera différent et il dépend de vm. Il suffit de trouver delta = delta i pour que tC <= tD, c.a.d tC - tD <= 0
delta i s'exprimera je suppose en fonction de delta m, vm et vc.
Très bien
Alors j'ai fais :
Pour l'hypothèse delta >> H,
tD=tC et tR= Δm/vc + (Δ-Δm)/vm
Donc tC- tD <= 0
Et en résultat je trouve :
Δ = Δi <= (vc x vm)/ (Δm x vm)- vm +vc -(Δm x vc)
Cela semble t-il correcte ?
J'ai fais une erreur dans mon calcul,
Finalement je trouve :
Δ = Δi = Δm + vc(Δ-Δm)/vm
Ce résultat est -il mieux ?
Je voulais qu'en partant de la question 6) tu en déduises des conséquences importantes mais ca n'a pas marché.
Reprenons. Clairement, l'onde réfléchie se déplace avec la meme vitesse que l'onde directe sauf que pour une distance delta, l'onde réfléchie parcourra toujours une distance plus grande. Donc l'onde réfléchie ne sera donc jamais la plus rapide.
L'onde conique que l'on ne peut détecter que pour delta > delta m, parcourt en revanche une section fixe (les deux hypoténuses de bases delta m/2) à vitesse vc et une section variable linéaire à la vitesse vm > vc. Donc il existera une distance delta pour laquelle l'onde conique sera la plus rapide.
Clairement, dans l'approximation extreme delta >> H où l'on néglige la profondeur de la croute, tD = tR et la section fixe pour l'onde conique vaut delta m. Donc à partir de delta = dm, l'onde conique sera la plus rapide.
Faisons le calcul maintenant précis en ne négligeant plus H.
tC - tD = (2 (h² + (Δm/2)²))/vc + (Δ-Δm)/vm - Δ/vc = 0
soit Δ(vm - vc)/(vc*vm) = (2 (h² + (Δm/2)²))/vc -Δm/vm
soit Δ = Δi =(vc*vm)* (2 (h² + (Δm/2)²))/vc -Δm/vm ) /(vm-vc)
sauf erreurs de calcul (à toi de vérifier).
Je factorise delta.
Cela donne un terme en delta*(1/vm-1/vc) qui se réécrit en delta(vc-vm)/(vc*vm) lorsque tu mets les fractions au meme dénominateur.
Pour la 8)a- Dans la cas où la station sismique est à une distance ∆ < ∆m, exprimer la profondeur de la croûte terrestre H en fonction de la durée τ qui sépare l'arrivée d'une onde directe et d'une onde réfléchie.
J'ai fais τ= distance / vitesse
Soit : τ=(tr-td)/vc
Donc τ= ( Δ - 2 √(h² + (Δm/2)²)) /vc²
Pour la 8) b- Dans les Alpes, on a relevé une valeur de τ = 3,91 s, une distance épicentrale de ∆ = 105,5 km. En déduire la profondeur H. La vitesse d'une onde dans la croûte terrestre, au niveau des Alpes, est de l'ordre de 6,25 km.s−1.
Il faut isoler H dans l'expression précédente.
Je trouve H= √( ((vcxτ - Δ) / 2)² - (Δ/2)².
Mais avec l'application numérique ne marche pas donc je ne sais pas
si ma formule de 8)a est fausse
si l'isolation du H est faux ou
si c'est une erreur lors de l'application sur la calculatrice
Vous avez une idée ?
Bonjour,
Je m'excuse de vous déranger et de revenir 2 ans plus tard sur cette énoncé mais j'en ai un un peu similaire à faire et une question subsiste.
Pour la question 6), comment est il possible de tracer tC en fonction de delta en sachant que tC a été exprimé en fonction de delta m et que nous n'avons aucune information dessus?
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